线性代数：向量空间与线性映射

一条主线：对象由公理定义，不由图像定义；对象之间的映射必须保持公理结构。第一课解决"什么是向量空间"，第二课解决"空间之间怎么映射"。两课合起来，就是线性代数的立法基础。

第一课　向量空间

0. 本课要回答的问题

你脑子里的"向量"大概是箭头。可是高维箭头看不见，多项式不是箭头，矩阵也不是箭头——数学凭什么把它们都叫向量？

本课的回答是：向量空间不是由"长什么样"定义的，而是由"满足什么运算规则"定义的。 只要一个集合满足那套规则，它就是一个向量空间，不管元素是箭头、多项式还是矩阵。

1. 核心思想：向量是角色，不是长相

"员工"是一个职位，满足职责就算员工，不必长得像某种人。"向量"也一样：它是一个角色，满足公理就上得了这个位置。

由此得到两条推论，它们解释了代数为什么能处理高维和抽象对象：

对象由结构定义，不由图像定义。 定义里没有"箭头""方向""长度""维数"这些词，所以规则本身没有维数障碍。
定理只要从公理推出，就对所有向量空间成立。 包括看不见的高维空间，也包括多项式、矩阵这类"完全不像箭头"的对象。

一句话：公理是唯一的立法者，图像没有投票权。

2. 向量空间的定义

一个集合 $V$ ，配上两种运算，若满足"封闭 + 八条公理"，就构成实向量空间。

2.1 两种运算（且封闭）

加法：对任意 $u, v \in V$ ，有 $u + v \in V$
数乘：对任意 $c \in R$ 、 $v \in V$ ，有 $c v \in V$

严格说，封闭性不是"第九条公理"，而是"这两种运算首先得是 $V$ 上的运算"。若加出来的结果跑到集合外，后面的八条公理根本无从谈起。所以完整表述是：封闭 + 八条公理。

2.2 八条公理

对任意 $u, v, w \in V$ ，任意实数 $a, b$ ：

编号	公理	职责
1	$u + v = v + u$	加法交换
2	$(u + v) + w = u + (v + w)$	加法结合
3	存在 $0 \in V$ ，使 $v + 0 = v$	零元
4	每个 $v$ 有 $- v$ ，使 $v + (- v) = 0$	负元
5	$a (b v) = (ab) v$	数乘结合
6	$1 v = v$	数乘单位元
7	$a (u + v) = a u + a v$	数乘对向量加法分配
8	$(a + b) v = a v + b v$	数乘对数量加法分配

关键理解：这八条里没有一条提到箭头、方向、长度、维数。所以任何满足它的集合都是向量空间——规则里根本没有维数这个门槛，这就是代数能跨越维数的原因。

为什么恰好是八条：八条刚好够推出全部线性代数定理，不多不少。多一条会砍掉一部分合法实例，少一条会推不出关键结论。

2.3 三个限定

（1）数乘的"数"来自哪个域。 上面是实向量空间。数乘只用有理数，就是有理向量空间；用复数，就是复向量空间。公理形式完全一样，但域变了，空间性质会变。目前只需掌握实向量空间。

（2）不必逐条重证显然的公理。 $R^{n}$ 、多项式、矩阵这三类对象，可以逐分量、逐系数、逐位置归约到实数自身的运算公理。遇到可疑集合，重点查封闭、零元、负元——反例几乎都出在这三处。

（3）判定顺序。 先查封闭 → 再查零元、负元 → 最后逐条验证其余公理。

3. 三个标准例子

3.1 例 1： $R^{n}$

$n$ 元组全体，逐分量相加、逐分量数乘。八条公理逐条退化到实数上成立。这是标准例子，也是其余例子对照的基准。

3.2 例 2：多项式空间 $P_{2}$

定义

P_{2} = {a + b x + c x^{2} ∣ a, b, c \in R}

即次数不超过 2 的多项式全体。常数、一次多项式都算在内；最高次项系数 $c$ 可以是 0。

两种运算

加法（对应系数相加）：

(a + b x + c x^{2}) + (d + e x + f x^{2}) = (a + d) + (b + e) x + (c + f) x^{2}

数乘（每个系数乘 $k$ ）：

k (a + b x + c x^{2}) = k a + k b x + k c x^{2}

两者都封闭（系数仍是实数）。

验证公理 3（零元）：零多项式为 $0 + 0 x + 0 x^{2}$ ，

(a + b x + c x^{2}) + (0 + 0 x + 0 x^{2}) = a + b x + c x^{2}

成立。

验证公理 4（负元）：每个 $v = a + b x + c x^{2}$ 的负元是

- v = (- a) + (- b) x + (- c) x^{2}

因为 $- a, - b, - c$ 仍是实数，负元仍在 $P_{2}$ 内，且

(a + b x + c x^{2}) + (- a - b x - c x^{2}) = 0 + 0 x + 0 x^{2}

成立。

与 $R^{3}$ 同构：每个 $a + b x + c x^{2}$ 由三个系数 $(a, b, c)$ 唯一确定。映射

a + b x + c x^{2} ⟼ (a, b, c)

是一一对应，并且保持加法和数乘。所以 $P_{2}$ 在代数上就是 $R^{3}$ ，维数为 3，一组基可取 $1, x, x^{2}$ 。

类比： $P_{0}$ 维数 1； $P_{1}$ 维数 2； $P_{2}$ 维数 3；一般地， $P_{n}$ （次数不超过 $n$ ）维数为 $n + 1$ 。

3.3 例 3：二阶实矩阵全体 $M_{2} (R)$

结论：是向量空间，维数 4。

运算

加法（对应位置相加）：

(a c b d) + (e g f h) = (a + e c + g b + f d + h)

数乘（每个位置乘 $k$ ）：

k (a c b d) = (k a k c k b k d)

封闭性：两个实矩阵相加、实数乘实矩阵，结果仍是二阶实矩阵。✅

八条公理逐条对应矩阵运算性质

公理	在矩阵上的表现
1 加法交换	对应位置实数相加可交换	✅
2 加法结合	对应位置实数相加可结合	✅
3 零元	零矩阵 $(0000)$	✅
4 负元	$(- a - c - b - d)$	✅
5 数乘结合	$a (b M) = (ab) M$ ，逐位置成立	✅
6 数乘单位元	$1 M = M$	✅
7 数乘对加法分配	$k (M + N) = k M + k N$ ，逐位置成立	✅
8 数乘对数量分配	$(a + b) M = a M + b M$ ，逐位置成立	✅

关键观察：矩阵的每个位置就是 $R$ 里的一个数，所以八条公理可以逐位置归约到实数运算的公理上。这类"逐位置/逐分量/逐系数"的归约，是验证向量空间最省力的通用手法。

基：四个矩阵单位 $E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}$ ，维数 4。

为什么重要：矩阵不是箭头，但满足八条公理，所以它是向量。与 $P_{2}$ 一样，再次印证"向量是角色而非长相"。

4. 反例：第一象限

设

S = {(x, y) ∣ x \geq 0, y \geq 0}

用普通加法和数乘。

加法封闭：若 $x_{1}, x_{2} \geq 0$ ，则 $x_{1} + x_{2} \geq 0$ ； $y$ 同理。✅

数乘封闭：若 $c \geq 0$ ，则 $c x \geq 0$ ，封闭；但若 $c < 0$ ，取 $c = - 1$ 、 $(1, 1) \in S$ ，

- 1 \cdot (1, 1) = (- 1, - 1) \in / S

数乘对负数不封闭。❌

公理 3（零元）： $(0, 0) \in S$ ，成立。✅

公理 4（负元）：取 $v = (1, 1) \in S$ ，其负元应为 $(- 1, - 1)$ ，但坐标 $- 1 < 0$ ，故 $(- 1, - 1) \in / S$ 。公理 4 失败。❌

结论

只查八条公理：公理 4 失败（负元不在集合内）。
连封闭一起查：数乘对负数不封闭，这是更根本的失败。

标准表述：第一象限在普通加法下加法封闭、有零元，但负元公理失败（且数乘对负实数不封闭），所以不是向量空间。

对比：要让数乘封闭，集合必须对所有实数数乘封闭——这通常迫使它同时包含负方向，第一象限做不到。

5. 判定流程

判断"某集合 + 某两种运算"是否构成实向量空间：

查封闭：加法封闭？数乘对所有实数封闭？
查零元：集合里有没有零元？
查负元：每个元素的负元是否仍在集合内？
逐条验证其余公理（交换、结合、两种分配、单位元）。

反例最常出在：负元、数乘负数、零元缺失。

一句话："两种运算 + 封闭 + 八条公理"是准入标准；满足即是向量空间，不满足即不是。对象长什么样、维数多少，都不在这套标准里。

6. 三题对照表

对象	运算	结论	关键点
$P_{2}$	多项式加法、数乘	是向量空间，维数 3	零元为零多项式；负元系数取负，仍在集合内
$M_{2} (R)$	矩阵加法、数乘	是向量空间，维数 4	逐位置归约到实数公理
第一象限 $S$	普通加法、数乘	不是向量空间	负元失败；数乘负数不封闭

7. 本课小结

对象由规则定义，不由图像定义。 八条公理是准入条件，满足就是向量空间，不管元素长什么样。
从公理推出的定理，对所有向量空间成立——包括看不见的高维空间。
公理是唯一的立法者，图像没有投票权。 这是"代数世界规则"的第一层答案。

第二课　线性映射

1. 从映射到线性映射

映射 $f : A \to B$ 要求：定义域中每个元素有且只有一个像。

单射：不同输入不给同一输出。
满射：陪域被完全覆盖。
双射：既是单射又是满射，即一一对应、可逆。

向量空间之间的映射不能随便定，它必须保持运算结构。保持加法和数乘的映射，就叫线性映射。

这是代数世界的第二条规则：对象由公理定义，对象之间的映射必须保持公理结构。

2. 线性映射的定义

设 $V, W$ 是实向量空间。映射 $T : V \to W$ 称为线性映射，如果对任意 $u, v \in V$ 、任意实数 $c$ ：

保持加法： $T (u + v) = T (u) + T (v)$
保持数乘： $T (c v) = c T (v)$

两条合起来等价于一条：

T (c u + d v) = c T (u) + d T (v)

对任意实数 $c, d$ 成立。

关键理解：线性映射不是"图像是直线"的映射，而是保持向量空间两种运算的映射。它把 $V$ 中的加法与数乘"搬运"到 $W$ 中，并保持等式成立。

3. 三个基本例子

3.1 例 1：零映射

$T : V \to W$ ， $T (v) = 0_{W}$ 对所有 $v$ 成立。

T (u + v) = 0 = 0 + 0 = T (u) + T (v), T (c v) = 0 = c \cdot 0 = c T (v)

是线性映射。

3.2 例 2：数乘映射（伸缩）

固定实数 $k$ ， $T : R^{n} \to R^{n}$ ， $T (v) = k v$ 。

T (u + v) = k (u + v) = k u + k v = T (u) + T (v)

T (c v) = k (c v) = c (k v) = c T (v)

是线性映射。

3.3 例 3：点积映射（固定一个向量）

固定 $a \in R^{n}$ ，定义

f_{a} : R^{n} \to R, f_{a} (b) = a \cdot b

验证：

f_{a} (u + v) = a \cdot (u + v) = a \cdot u + a \cdot v = f_{a} (u) + f_{a} (v)

f_{a} (c v) = a \cdot (c v) = c (a \cdot v) = c f_{a} (v)

是线性映射。注意它的陪域是 $R$ ，输出是标量——这正是最早"点积与投影"之问里的那个映射：

点积是线性映射，输出标量；
投影是另一个线性映射，输出向量。

4. 两个非线性反例

4.1 反例 1：平移 $T (v) = v + b$ ， $b \neq = 0$

T (u + v) = u + v + b, T (u) + T (v) = u + b + v + b = u + v + 2 b

两者不等（除非 $b = 0$ ），所以平移不是线性映射。

要点：线性映射必须把零元送到零元。因为

T (0) = T (0 \cdot 0) = 0 \cdot T (0) = 0

平移把 $0$ 送到 $b \neq = 0$ ，直接出局。

4.2 反例 2： $T (x, y) = (x^{2}, y)$

T (2 v) = T (2 x, 2 y) = (4 x^{2}, 2 y), 2 T (v) = 2 (x^{2}, y) = (2 x^{2}, 2 y)

两者不等，所以不是线性映射。

要点：只要表达式中出现平方、乘积、绝对值、常数项，通常就不是线性的。

5. 核与像

5.1 核（kernel）

ker T = {v \in V ∣ T (v) = 0_{W}}

即被映到零的输入集合。

性质： $ker T$ 是 $V$ 的子空间。若 $u, v \in ker T$ ，则 $T (u + v) = 0 + 0 = 0$ ，故 $u + v \in ker T$ ；又 $T (c u) = c \cdot 0 = 0$ ，故 $c u \in ker T$ ；零元也在核内。

5.2 像（image）

Im T = {T (v) ∣ v \in V}

即所有输出组成的集合。

性质： $Im T$ 是 $W$ 的子空间。若 $w_{1} = T (u)$ 、 $w_{2} = T (v)$ ，则

w_{1} + w_{2} = T (u) + T (v) = T (u + v) \in Im T, c w_{1} = c T (u) = T (c u) \in Im T

5.3 核与像的判定套路

两者都是子空间，只需查三条：零元在、加法封闭、数乘封闭。而这三条都由 $T$ 的线性直接给出——这就是"核与像是子空间"的一行式证明。

6. 核与单射的等价关系

定理： $T$ 是单射 $⟺ ker T = {0}$ 。

证明

（ $\Rightarrow$ ）设 $T$ 单射，取 $v \in ker T$ ，则 $T (v) = 0 = T (0)$ ，由单射得 $v = 0$ ，故核中只有零。
（ $\Leftarrow$ ）设 $ker T = {0}$ ，若 $T (u) = T (v)$ ，则 $T (u - v) = 0$ ，故 $u - v \in ker T = {0}$ ，即 $u = v$ ， $T$ 单射。

为什么重要：判断线性映射是否单射，不用逐个比较输出，只需求核。这是后面"矩阵的零空间判满秩"的原型。

7. 线性映射与矩阵

有限维情形下，线性映射可以用矩阵表示。

设 $T : R^{n} \to R^{m}$ ，取标准基 $e_{1}, \dots, e_{n}$ ，令

A = (T (e_{1}) \dots T (e_{n}))

即把每个基向量的像作为一列拼成矩阵。则对任意 $v = (x_{1}, \dots, x_{n})$ ，

T (v) = A v

矩阵乘法就是线性映射的坐标表示。

反过来：每个 $m \times n$ 矩阵 $A$ 都定义一个线性映射

T_{A} : R^{n} \to R^{m}, T_{A} (v) = A v

所以有限维实向量空间之间的线性映射，本质上就是矩阵。

但要注意：矩阵是表示，线性映射是对象。 换一组基，矩阵变了，映射没变。这就是"表示不等于对象"——也是下一课"换基"要处理的核心。

8. 补充：陪域、满射、子空间

8.1 陪域 vs 像

映射 $f : A \to B$ 中， $A$ 是定义域， $B$ 是陪域。陪域是"输出被允许落在的集合"，不是"实际输出组成的集合"。

陪域 $B$ ：规则规定输出必须属于 $B$ 。
像 $Im f = {f (a) ∣ a \in A}$ ：实际被取到的输出。

像一定是陪域的子集，但可以严格小于陪域。

例子： $f : R \to R$ ， $f (x) = x^{2}$ 。定义域 $R$ ，陪域 $R$ ，像却是 $[0, + \infty)$ 。所以 $f$ 不是满射：陪域里的负数一个也没被取到。

三者关系

满射： $Im f = B$ （像填满陪域）
单射：不同输入不给同一输出
双射：两者都成立

回到两个映射：

映射	定义域	陪域	输出
点积 $f_{a}$	$R^{n}$	$R$	标量
投影 $P_{a}$	$R^{n}$	$R^{n}$	向量

定义域相同，但陪域不同，所以它们不是同一个映射。

维数不设限：点积里的 $n$ 可任意；线性映射的定义也完全不依赖维数， $V, W$ 可以是任意维向量空间。

8.2 子空间

子空间就是向量空间里面的一块，自己又构成向量空间。

设 $V$ 是向量空间， $U \subseteq V$ 。若 $U$ 配上 $V$ 的加法和数乘后自己也满足八条公理，则 $U$ 称为 $V$ 的子空间。

实际判断不必逐条查八条： $V$ 的公理已经成立， $U$ 会自动继承交换、结合、分配等，只需查三件事：

零元在： $0 \in U$
加法封闭： $u, v \in U \Rightarrow u + v \in U$
数乘封闭： $u \in U, c \in R \Rightarrow c u \in U$

例子

$R^{2}$ 中过原点的直线是子空间。取 $U = {(t, 2 t) ∣ t \in R}$ ：零元 $(0, 0)$ 在；两向量相加为 $(t_{1} + t_{2}, 2 (t_{1} + t_{2}))$ ，仍在；数乘也在。✅
不过原点的直线不是子空间，因为零元不在。如 $y = x + 1$ 上的点不含 $(0, 0)$ ，直接失败。❌
$R^{3}$ 中过原点的平面是子空间；不过原点的平面不是。

为什么核和像都是子空间： $ker T$ 里有零（ $T (0) = 0$ ），且对加法、数乘封闭（因 $T$ 线性）； $Im T$ 里有零（ $T (0) = 0$ ），也因 $T$ 线性而对两种运算封闭。所以两者都满足上面三条。

9. 本课小结

映射必须保持结构：线性映射保持加法与数乘，不是随便定的规则。
零元必须映到零元： $T (0) = 0$ 是必要条件，平移因此出局。
核判断单射： $ker T = {0} ⟺ T$ 单射，不用逐个比输出。
矩阵是线性映射的坐标表示：换基矩阵变，映射不变；表示不等于对象。

10. 作业

判断 $T : R^{2} \to R^{2}$ ， $T (x, y) = (x + y, 2 x)$ 是否为线性映射。若是，写出其矩阵。
求上题的核与像，判断是否单射、是否满射。
判断 $T (x, y) = (x + 1, y)$ 是否为线性映射，说明理由。
思考： $T : R^{2} \to R^{2}$ ， $T (x, y) = (x, y^{2})$ 是否线性？核是什么？

参考答案见附录 A。建议先自己做，再对照。

附录 A　作业参考答案

A1. $T (x, y) = (x + y, 2 x)$

是线性映射。 设 $u = (x_{1}, y_{1})$ 、 $v = (x_{2}, y_{2})$ ，则

T (u + v) = T (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2}) = (x_{1} + x_{2} + y_{1} + y_{2}, 2 x_{1} + 2 x_{2}) = T (u) + T (v)

T (c u) = T (c x_{1}, c y_{1}) = (c x_{1} + c y_{1}, 2 c x_{1}) = c T (u)

矩阵：取标准基 $e_{1} = (1, 0)$ 、 $e_{2} = (0, 1)$ ，

T (e_{1}) = (1, 2), T (e_{2}) = (1, 0) ⟹ A = (1210)

A2. 核与像

核：解 $T (x, y) = (0, 0)$ ，即

{x + y = 0 2 x = 0 ⟹ x = 0, y = 0

故 $ker T = {(0, 0)}$ ，是单射。

像： $A$ 的两列 $(1, 2)^{T}$ 、 $(1, 0)^{T}$ 线性无关，张成整个 $R^{2}$ ，故 $Im T = R^{2}$ ，是满射。

既是单射又是满射， $T$ 是双射（可逆）， $det A = - 2 \neq = 0$ ，与结论一致。

A3. $T (x, y) = (x + 1, y)$

不是线性映射。 最简判定： $T (0, 0) = (1, 0) \neq = (0, 0)$ ，违反 $T (0) = 0$ 。

也可直接算： $T (u + v) = (x_{1} + x_{2} + 1, y_{1} + y_{2})$ ，而 $T (u) + T (v) = (x_{1} + x_{2} + 2, y_{1} + y_{2})$ ，两者不等。这正是"平移出局"的又一例。

A4. $T (x, y) = (x, y^{2})$

不是线性映射。 取 $c = 2$ 、 $v = (1, 1)$ ：

T (2 v) = T (2, 2) = (2, 4), 2 T (v) = 2 (1, 1) = (2, 2)

不相等，故非线性（平方项破坏了数乘保持）。

核：题目问"核是什么"是个陷阱——非线性映射没有核这个概念。 $ker$ 的定义依赖于线性性（要保证解集是子空间）。若强行算集合 ${(x, y) ∣ T (x, y) = (0, 0)}$ ，得 $x = 0$ 且 $y^{2} = 0$ ，即 ${(0, 0)}$ ，但它不构成"核"这一结构，也不蕴含单射性——事实上 $T (1, 1) = (1, 1) = T (1, - 1)$ ， $T$ 明显不是单射。

这道题要记住的：先判线性，再谈核。顺序反了会得出错误结论。

附录 B　两课速查表

B1. 判定一张表

要判断的对象	查什么	常见失败点
集合是否为向量空间	封闭 → 零元 → 负元 → 其余公理	负元缺失、数乘负数不封闭、零元不在
子集是否为子空间	零元在 → 加法封闭 → 数乘封闭	不过原点（零元缺失）
映射是否为线性映射	先查 $T (0) = 0$ ，再验加法/数乘	常数项、平方、乘积、绝对值
线性映射是否单射	$ker T = {0}$	核非零
线性映射是否满射	$Im T = W$ （或列空间张满陪域）	像的维数不足

B2. 概念对照

概念	一句话	关键约束
向量空间	封闭 + 八条公理的集合	与元素长相无关
子空间	空间内自成空间的一块	只需查三条
线性映射	保持加法与数乘的映射	$T (0) = 0$ 必须成立
核	被映到零的输入	是 $V$ 的子空间； ${0}$ ⟺ 单射
像	全部实际输出	是 $W$ 的子空间；等于陪域 ⟺ 满射
矩阵	线性映射在给定基下的坐标表示	换基则变，映射不变

B3. 三句话总纲

对象由公理定义，不由图像定义。
映射必须保持公理结构。
表示不等于对象——基会变，映射不会变。

附录 C　下一步：基与维数

两课留下的三个悬念，正好由下一课收口：

为什么 $P_{2}$ 的维数是 3？ ——因为基 $1, x, x^{2}$ 有三个向量，且它们线性无关、张成整个空间。需要"基"的严格定义与"维数 = 基的势"这一定理。
为什么换基后矩阵变、映射不变？ ——需要相似矩阵 $B = P^{- 1} A P$ 的推导：同一映射在两族基下的坐标变换。
核与像的维数有什么关系？ ——秩-零化度定理： $dim ker T + dim Im T = dim V$ 。它是第二课"核判单射"的定量升级。

整理自前两课课堂内容，保留原有例子、反例与推导顺序；统一了编号、表格与公式排版，补充了作业参考答案与速查表。

第一课 向量空间